Da mesi la stampa statunitense insiste a elencare, tra le cause del meltdown in corso, il fideismo in modelli matematici sbagliati. (Da ultimo, Wired: Recipe for Disaster: The Formula That Killed Wall Street, 23 febbraio).
La mia competenza di matematica finanziaria è pari all’incirca a zero. Però mi sembra proprio di fiutare qui un ennesimo sintomo della “good-enough society” di cui vado blaterando da un po’ di tempo.
Per agganciare le obbligazioni ai mutui immobiliari (ossia: dato un credito “X” in mutui, cartolarizzarlo e rivenderlo a terzi come bonds), i finanzieri americani sarebbero ricorsi a una formula “good enough”, ma in realtà troppo semplicistica.
Il problema
Supponete di avere un portafoglio di 10 titoli e di sapere che ciascuno ha il 10% di probabilità di default. Cosa ci dice questa informazione, circa la probabilità di default dell’intero portafoglio? Ben poco, a meno che non sappiamo anche se quei titoli si influenzano l’un l’altro, ossia qual’è la default correlation tra di loro:
- Supponiamo, al limite, che le cose stiano in modo tale che se uno dei dieci titoli crolla allora anche tutti gli altri crollano: in tal caso c’è una probabilità del 10% che tutto il portafoglio crolli e, al contempo, un 90% di probabilità che nulla crolli;
- All’estremo opposto, se sappiamo invece che tutti i titoli nel portafoglio crollano solo separatamente l’uno dall’altro, allora c’è il 100% di probabilità, ossia la certezza, che uno e uno solo dei dieci titoli crolli.
Nel primo caso, il nostro portafoglio è assai più rischioso, e dovrebbe avere un rating più basso che non quello del secondo scenario.
Abbiamo presentato due casi estremi, è vero, ma che ci fanno comprendere una realtà molto comune: il rischio complessivo di un portafoglio non dipende solo dai rischi dei singoli titoli che lo compongono, ma anche dalla relativa influenza dell’andamento di uno su quelli degli altri, ossia da quella che si chiama default correlation (“correlazione di insolvenza”).
I mutui subprime
Sappiamo che la crisi dei derivati basati sui mutui immobiliari è scoppiata quando sono cominciati a scendere i prezzi delle case. Perché? Perché molti di quei mutui (almeno il 25%, e forse più) erano scadenti, “subprime”. Erano stati concessi a poveracci che inizialmente riuscivano a pagare le rate solo rifinanziando il mutuo grazie all’incremento del valore nominale della casa.
Se un portafoglio è fatto di crediti immobiliari sotto forma di mutui, qual’è la sua default correlation? Be’, è una formula complicata, una via di mezzo tra i due estremi presentati sopra, perché i mutui sono in parte correlati e in parte no.
Se il Signor Smith smette di pagare le rate di mutuo perché lui non ha il cash e per giunta la casa si sta deprezzando, la probabilità che il suo vicino Brown incorra in una sorte analoga non è per niente trascurabile: vivono nello stesso quartiere, sicché i prezzi delle loro case sono probabilmente correlati, ed è anche probabile che le due famiglie abbiano un reddito simile. Ci può essere una forte correlazione tra il default di Smith oggi e quello di Brown fra qualche trimestre.
Questa correlazione è ciò che ha portato i bond basati sui mutui a crollare così in fretta: la correlazione ha fatto sì che i fenomeni si propagassero rapidamente, sorprendendo le banche.
Il fascino irresistibile di una matematica semplice
Secondo alcuni osservatori, le banche d’affari e le agenzie di rating (a’ ridaje!) si sono fidati troppo e hanno abusato di una formula, ideata dal matematico David Li dieci anni fa, che consente di fissare in modo sintetico un valore di rischio per titoli derivati molto articolati, come quelli basati sui mutui, operando semplificazioni troppo risolute.
In particolare, la formula di Li sottostima i rischi più estremi, quelli che hanno luogo quando molti eventi correlati si presentano insieme -proprio quello che è successo coi subprime.
Consentendo di ridurre tutta la complessità del rischio di un portafoglio a un solo numeretto (la sua default correlation, un valore da 0 a 1), Li sicuramente conquistò la mente e il cuore dei suoi clienti finanzieri, i quali erano in gran parte americani.
A differenza di noi italiani, che di numeri non capiamo nulla e non sappiamo applicarli neppure quando sono indispensabili, gli americani adorano esprimere i concetti della vita quotidiana in numeri, fino a incorrere nell’eccesso opposto al nostro: appiccicare un numeretto anche a concetti complessi, che si prestano solo a lunghe e involute elucubrazioni. Ecco, dunque, che la formula di Li è sicuramente piaciuta per la sua semplicità.
Un’ennesima manifestazione della good-enough society.
Post scriptum: Ce sei o ce fai?
Al contempo, la formula aveva anche l’effetto di purificare la coscienza dei manager che stavano guadagnando milioni sulla base di crediti (i mutui immobiliari) dei quali non sapevano nulla.
Se c’erano delle astruse formule matematiche in base alle quali si poteva cartolarizzare qualunque credito, anche parecchio incerto, e trasformarlo in obbligazioni AA o AAA, allora dov’era il problema?
Chi mi accuserà mai di qualcosa, se sto facendo guadagnare miliardi alla mia banca e ho l’appoggio della funzione copula normale applicata alle collateralized debt obligations (come se fosse Antani)?
9 Marzo 2009 at 16:34
Sinceramente non conosco la formula di David Li ed ignoro chi sia costui. Non lo avevo mai sentito nominare prima di questo post. Anche con una breve ricerca su internet ho trovato ben poco su di lui. Il mio commento potrebbe quindi essere falsato da una non conoscenza specifica della formula di cui parli. Vorrei però provare a dirti quello che penso su questo argomento. Secondo me il tuo post mette in luce solo una parte della verità relativa alla crisi subprime. Ciò che tu descrivi come “default correlation” nel tuo esempio, altro non è (almeno è così che lo vedo io) che quello che in finanza si chiama “coefficiente di correlazione lineare” indicato convenzionalmente con la lettera greca ρ, sempre compreso tra -1 e +1 (ρ =0 correlazione nulla; ρ =1 le attività si muovono nella stessa direzione e con la stessa intensità; ρ = -1 le attività si muovono in direzione opposta e con la stessa intensità).
Senza dubbio questo coefficiente ha un peso notevole nell’individuare il rischio effettivo di un portafoglio, tuttavia, nel caso dei subprime, non penso che sia prevalentemente questo tipo di correlazione che ha creato la crisi. La correlazione che ha creato l’effetto valanga nei caso dei subprime è quella tra istituti di credito che hanno condiviso lo stesso rischio. Provo a spiegarmi. Nel 2006 secondo Moody’s circa il 25% dei mutui immobiliari americani era classificato subprime. Si tratta di un dato significativo perché l’effetto valanga non sarebbe scattato se i mutui subprime fossero, ad esempio, sotto il 10% (come erano dal 1996 al 2004). Sappiamo bene che questa crescita dei subprime è dovuta alla bolla immobiliare, ai bassi tassi di interesse e alla cartolizzazione. Proprio quest’ultima è la principale causa dell’effetto valanga. La cartolizzazione porta in breve tempo questi asset drogati in tutti gli angoli del pianeta. Tutte le principali istituzioni finanziarie si portano in casa titoli che si basano su condizioni insostenibili. Nel momento in cui, dal 2004 i tassi di interesse crescono, le rate dei mutui diventano più pesanti da pagare (per tutti, non solo per i subprime). Essendo i subprime pari al 25% del totale dei mutui questo crea un primo problema di liquidità. Dal 2006, i prezzi delle case si fermano e dal 2007 cominciiano a ridursi. A questo punto anche il pignoramento diventa un’arma spuntata e le perdite sono su tutti i fronti e diventano presto sistemiche. Ogni istituzione finanziaria che ha in pancia questi asset si trova improvvisamente con perdite sempre più grandi e incontrollabili. L’effetto valanga dipende quindi dalla correlazione tra istituti di credito che si sono passati di mano il mutuo, non tanto (e non solo) tra il signor Smith e il signor Brown.
Detto questo, condivido pienamente la tua ultima affermazione in base alla quale talvolta le formule matematiche consentono di purificare la coscienza. Pietro Modiano ha affermato che la crisi finanziaria non è stata scatenata dall’avidità delle banche ma dall’ignoranza. Non so se sia stata più determinante l’avidità o l’ignoranza, certo che se ci sono entrambe…
9 Marzo 2009 at 18:23
Sì, però le banche sono SEMPRE state interrelate; hanno sempre condiviso rischi simili e portato sempre in pancia titoli di altri.
Tuttavia, MAI sono andate a rotoli quasi tutte assieme, come ora.
Ciò che ha condotto a una catastrofe, insieme all’eccessiva deregulation, all’avidità eccetera, sarebbe proprio il fatto che le formule di rischio ispirate da Li inducevano a dare rating elevati anche a bonds che invece avrebbero dovuto averli bassi (sottostimando i rischi più estremi, ossia quelli che hanno luogo quando molti eventi correlati si presentano insieme).
Ora, se consideri che a essere cartolarizzati non sono stati solo i mutui, ma praticamente tutti i crediti, adesso non resta che incrociare le dita: basti pensare ai crediti/debiti incombenti sulle carte di credito revolving…
9 Marzo 2009 at 18:54
Hai ragione, e dobbiamo veramente incrociare le dita. La questione dei subprime è però particolare, perchè a differenza delle carte di credito revolving gli importi medi erano elevati e c’era un bene facilmente pignorabile. Il punto di rottura sui subprime secondo me è stato quello che Kurzweil definisce “il punto di vista lineare intuitivo”, ovvero la tendenza a proiettare in linea retta le attuali condizioni (di mercato, di tasso, di valore immobiliare…)nel futuro.
Quando, come riporta l’Herald Tribune (http://www.iht.com/articles/2008/11/26/opinion/edfriedman.php) si arriva a concedere ad un raccoglitore di fragole messicano con un reddito di 14.000 dollari l’anno che parla poco e male l’inglese, un mutuo da 720.000 dollari per l’acquisto della casa, non c’è modello matematico che tenga e non bisogna essere geni, nè David Li per capire che forse la soglia di rischio accettabile è stata ampiamente superata. Se, poi a questa pazzia, aderiscono altre banche che acquistano il mutuo del contadino messicano e ne fanno oggetto di ricavo, allora si capiscono tante cose.
Secondo te il signor David Li, che ha sviluppato la formula che calcola il rischio subprime, avrebbe concesso (ammesso che li avesse) 720.000 dollari del suo patrimonio per finanziare il raccoglitore di fragole?
9 Marzo 2009 at 20:08
Si dava un mutuo ogni 4 a un poveraccio pensando che tanto poi la cartolarizzazione avrebbe distribuito il rischio sulle spalle di un numero così grande di investitori da assorbirlo senza traumi. (E qui l’ingordigia dei risultati a breve termine, che abbiamo discusso altrove, ha sicuramente forzato parecchio la mano).
Al contempo, i modelli matematici che stimavano il rischio di quelle cartolarizzazioni erano ottimistici. Finivano col dare un buon rating anche alle tranche meno nobili di bond, ossia quelle basate sui subprime. Questo non perché assumessero una crescita indefinita e monotonica dei prezzi delle case; ma perché non stimavano correttamente l’effetto che un calo di quei prezzi avrebbe potuto avere. (La loro curva di rischio andava giù in fretta, mentre nella realtà c’era una “coda” lunga, con probabilità non trascurabili di tracolli anche gravi).
C’è anche chi dice qualcosa di simile a quel che dici tu citando RK, nel senso che il modello di Li, che misurava il rischio basandosi non sui mutui bensì sui Credit Default Swaps di non so bene cosa (forse delle aziende che concedevano i mutui), utilizzava delle serie storiche insufficientemente ricche. Ma mi è parso di capire che il vero problema sia stato la sottostima di un tracollo rapido dovuto a correlazioni forti.
Io, per ora, l’ho capita così.
23 Marzo 2009 at 10:36
[...] esperti, però, basano le loro decisioni su modelli finanziari sbagliati (si vedano i post: “La crisi e la matematica“, “C’è la crisi? Provate i frattali” e “L’investitore [...]